Varianza muestral vs varianza poblacional

La varianza muestral es la varianza calculada a partir de un subconjunto de observaciones posibles de la población. Por su lado, la varianza poblacional es la varianza calculada cuando están presentes todas las observaciones posibles de la población.

Prueba de hipótesis para una varianza

Se compara el valor de la varianza poblacional \(\sigma^2\) con algún valor de referencia \(\sigma_0^2\).

Para la hipótesis nula

\(H_0: \sigma^2=\sigma_0^2\)

Se plantea alguna de las siguientes hipótesis alternativas

	Prueba unilateral		Prueba bilateral
	\(\sigma^2<\sigma_0^2\)	\(\sigma^2 >\sigma_0^2\)	\(\sigma^2\neq\sigma_0^2\)
Criterio de rechazo	\(\chi_0^2>\chi_{\alpha,n-1}^2\)	\(\chi_0^2<\chi_{\alpha,n-1}^2\)	\(\chi_0^2>\chi_{\alpha/2, n-1}^2\) o \(\chi_0^2< \chi_{1-\alpha/2, n-1}^2\)

El estadístico de prueba es

\(\chi_0^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\)

Y los grados de libertad se calculan como

\(v=n-1\)

Prueba de hipótesis dos varianzas

Se utiliza para posteriormente saber si se aplica una prueba de hipótesis para comparar dos medias suponiendo igualdad de varianzas o no.

Para la hipótesis nula 

\(H_0: \sigma_x=\sigma_y\)

Se plantea la hipótesis alternativa

\(H_1: \sigma_x\neq \sigma_y\)

Y se aplica el siguiente criterio de rechazo:

\(F_0>F_{\alpha/2,n_1-1,n_2-1}\)

\(F_0<F_{1-\alpha/2,n_1-1,n_2-1}\)

El estadístico de prueba es

\(F_0=\frac{S_x^2}{S_y^2}\)

Y los grados de libertad se calculan como

Numerador: \(n_x-1\)

Denominador: \(n_y-1\)